Site Haritası

Bu site 4 blogdan oluşmaktadır. Birleştirmeyi başaramadım ama diğer blog adresleri şöyle;
http://matematk.blogspot.com/ matematik genel
http://matematk1.blogspot.com/ Matetik ile ilgi sözler
http://matematk2.blogspot.com/ matematik soruları
http://matematk3.blogspot.com/ geometri soruları
Umarım siteler hoşunuza gider. Matematik ve geometri soruları zor ama çok zor değil. İyi bir lise öğrencisi yapabilir.

PARADOKSLAR

Paradoks kavramı,Batı Felsefesinin başlangıcına dayanır.Yunanca’da zıt,katşıt anlamına gelen “para” kelimesi ile inanış,düşünce anlamına gelen “doxos” kelimesinden oluşmuştur.Paradoksal durumlarda birlikte gerçekleşmesi beklenmeyen iki olgunun ya da birlikte var olması beklenmeyen iki niteliğin bir arada ortaya çıkması söz konusudur.Bilinen ilk paradoks örneği ise Yunan filozof Epimenides’in “Giritli Paradoksu”dur.Epimenides “Bütün Giritliler yalancıdır.” demişti.Buradaki olasılıklara bakarsak;birincisine göre Epimenides doğru söylüyorsa tüm Giritliler yalancı olamaz çünkü Epimenides varsayımımıza göre yalancı değildir.İkinci olasılığa göre Epimenides yalan söylüyorsa tüm Giritliler yalancı değildir.Bu durumda tüm Giritliler yalancı değildir,ama bazıları yalancı olabilir.

Yukarıdaki iki olasılık incelendiğinde ikinci olasılığın bu cümleyi paradoks olmaktan çıkardığını görüyoruz.Bu cümlenin paradoks olarak algılanmasının sebebi ise ikinci olasılığa göre bütün Giritliler’in yalancı olmamasının tüm Giritliler’in doğru sözlü olması olarak algılanmış olmasıdır ki bu yaklaşım yanlıştır.Ancak uzun yıllar sonra bu yaklaşımın yanlış olduğu anlaşılmış ve Epimenides’in önermesinin paradoks olmadığı kesinleşmiştir.
Paradokslar son derece çeşitli ve soyut kavramlar olduğundan,her ay bir başka paradoks çeşidini anlatmanın daha uygun olduğunu düşünüyoruz.Şimdi bazı temel paradoks şekillerini kısaca görelim:

1) Zenon Paradoksları: Matematik tarihindeki ilk büyük şüphecidir.40’a yakın paradoksu olduğu biliniyor,ancak günümüze 8 tanesi ulaşabildi.Şimdilik 4 tanesinin tanımını vereceğiz

a) Aşil’le Kaplumbağa: Aşil ve kaplumbağa yarışacaklardır.Kaplumbağa Aşil’den çok daha yavaş olduğundan bir baş mesafesi daha önden başlar.Zenon,Aşil’in kaplumbağayı hiçbir zaman yaklayamayacağını söyler.Aşil yarışa başladıktan sonra,hızı ne olursa olsun,önce kaplumbağanın başladığı ilk noktaya erişmesi gerekir,bu arada kaplumbağa biraz daha yol alacaktır.Aşil bu kez bu mesafeye ulaşmalıdır.Yarış bu şekilde sürer ve kaplumbağa hareketli olduğundan,Aşil onu hiçbir zaman yakalayamaz.

b) Dichotomy: Aşil yarışı bitiremez.Çünkü yarışı bitirmesi için önce gitmesi gereken yolun yarısını gitmelidir.Daha sonra kalan yolun yarısını, ondan sonra da kalan yolun yarısını gitmelidir ve bu böyle sürer.Aşil sonsuz iş yapamayacağından bitiş çizgisine varamaz.

c) Hareket yoktur: Ok paradoksu olarak da bilinir.Zaman “an”lardan oluşmuştur.”An” zamanın en küçük parçasıdır ve bölünemez.Aslında ok hareket etmez.Çünkü okun hareket etmesi için bir anın başlangıcında bir noktada,sonunda ise başka bir noktada olması gerekir.Ancak tanıma göre “an” bölünemeyeceğine göre ok hareket etmemiştir.

d) Kareler uzaydaki en küçük boşluğu temsil ediyorlar. A ve B aynı anda ve aynı hızda hareket ettiklerini varsayın;A sağa,B ise sola doğru.A ve B nerede karşılaşırlar sizce? Cevap:hiç karşılaşmazlar.Çünkü karşılaşabilecekleri bir boşluk yoktur.

2) Russell Paradoksları: Küme paradokslarının yaratıcı ünlü İngiliz düşünür Bertrand Russell’dır.Russell,her kümenin kendisinin elemanı olup olamayacağını sorgular.bazı kümeler kendisinin elemanıdır bazıları ise değildir.Ama şu örneği bir düşünün:’kendi adını içermeyen kataloglar kataloğu’ Tanıma göre bu katalog hem kendi adını içerecek,hem de içermeyecektir.Bu nasıl mümkün olabilir?

3) Epimenides Paradoksları: Epimenides’in ortaya attığı cümleden sonra binlerce paradoks türetilmiştir.Genelde bu tür paradokslar yalancı paradoksları ismiyle bilinir.En yaygın örnekse şudur:”Bu cümle yanlıştır.”

4) Sonsuzluk Paradoksları: En bilinen örneği Hilbert’in otel paradoksudur.Sonsuz sayıda odası olan ve tüm odaları dolu olan bir otel düşünün.Yeni bir müşteri geldiğinde resepsiyon görevlisi tarafından geri mi çevrilecektir? Hayır! Görevli Müşteriyi 1 no’lu odaya yerleştirir.1’dekini 2’ye,2’dekini 3’e,ve bu böyle sürer.

5) Geometrik Paradokslar: Biraz topoloji bilgisi gerektirir.Cramer’in paradoksu ise daha cebirsel ve anlaşılır dildedir.Geometrik paradoksların belki de en güzel uygulamaları olan Escher grafiklerinden birkaç örnek:

MATEMATİĞİN SIRLARI

Dünyanın en büyük matematikçilerin­den olan Dr. Irving Jushua Matrix ile ala­kalı olan dosyalarımı tetkik ettiğimde onun seyyahlık mesleğiyle alakalı şimdiye kadar yazmadığım gözden kaçmış notlar buldum. O Tübingen’de geçirdiği yıllarda, meta­fizik* ve dinî sistemlerin ehemmiyetini ka­bul eden felsefi bir okul olan General Eclectics Enstitüsünde kurucu ve idareci ola­rak bulundu. Ben, Dr. Matrix’in Bombay’ dan son derece akıllı bir şekilde eski Hint tekniği olan akupunktur ile frenolojiyi bir­leştirmesinin revacından da hiç bahsetmedim.

Budapeşte’de, Duna Intercontinental Otelinde milletler arası mühim bir toplantı­da bulunuyordum. Dr. Matrix’in yan Japon kızı Iva benim orada olduğumu Öğrenmiş. Birgün ben dışarıda iken telefon edip “Jeremiah 33:3” şeklinde ve bir İstanbul tele­fon numarasıyla mesajını bırakmış. Telefo­nu açtığımda, Hilton otelinde bulundukla­rını, bir hafta İstanbul’da kalacaklarını, be­nimle birlikte bulunmaktan memnun ola­caklarını belirttiler. Ertesi gün uçakla İstanbul’a gittim. Iva ile buluştuk.

Şehri gezmeye çıktık. Büyük Çarşı­dan Iva, libas mücevheratı olan bir masa önünde durakladı? Uzun bir pazarlıktan sonra dört tane ayn fiyatta pahalı yüzük sa­tın aldı. Genç tezgâhtar bu dört kalem he­sabı cep hesap makinesiyle toplarken onun, toplama tuşu yerine 3 defa çarpım tuşuna bastığını gördüm. Bunu Iva’ya fısıldadım. Tasdik etmesine rağmen yine de hesap ma­kinesinde görünen 6,75 dolan ödedi. Baş­ka bir dükkâna doğru yöneldiğimizde “Ni­çin itiraz etmedin?” diye sordum. “Çün­kü” dedi, “Aklımdan hesapladım ve aynı netice çıktı. “ Hemen bir zarfın arkasında hesapladım “Vay canına”“ dedim “Haklı­sın.”

Sultan Ahmet Camii ve Topkapı Sa­rayını ziyaret ettik. Şehrin batısındaki es­ki Bizans surlarının yanından geçtik. Ca­milerin bazılarının zeval gördüğünü fark etmek gerçekten üzücüydü. Bazıları şimdi, meşrubat satılan yerler olarak bazıları ise gecekondu gibi kullanıldığı için zarif du­var mozaikleri çinilerin düşmesi ve yanılmalarla lekelenmiş.. Hatta kubbeler ve kuleler bakımsızlıktan kahverengiye dönüşmüş ve günün yoğun sisinden onları görebilmek gerçekten zor.

Sonunda Hilton’a vardığım zaman Dr. Matrix, bizi bekliyordu. Ofis olarak kullandığı odasına geçtik. Masanın üze­rinde iki yerinden dilimlenmiş ve açılabi­lir şekilde tutturulmuş, öyle ki, açıldığı za­man 3 adet 4 kenarlı, herbiri kare tabanlı yamuk piramitler oluşturabilen bir büyük fildişi küp duruyordu.

“Bu üç piramit benzerdir (eştir)” dedi, Dr. Matrix “Eğer kare taban bir bi­rimlik kenara sahipse, 2 bitişik yüzey, bir bir birimlik 2 kenar ve birimlik hipote­nüse sahip ikizkenar dik üçgenlerdir. Di­ğer 2 kenar, birbirine eşit olmayan 1, ve hipotenüsü > değerli kenarlara sahip dik üçgenlerdir.

Bu kartlarla küpleri oluşturmak çok kolay, fakat birçok insanın bunu yapamayışı hayretle karşılanabilir. Teşrih olayı, Çin’e kadar uzanır. Pi­ramitler yangma diye adlandırırlar. Okur­larına, karttan bu kadar düzenli bir şekilde çok değdik bîr yolla ayırıp ay ıram ayacağı­nı, tekrar küp şekline getirip getiremeyeceklerini sorabilirsin. Bu kartı 3 ilmî parçaya ayırıp ayıramayacaklarını da sorabilirsin.”

Dr. Matrix, birbirine tutturulmuş yangmaları, ilk eski vaziyetlerde ki gibi ya­pışık dik bir kare halinde topladı. “Bu üçlülerin sekiz tanesini bir ke­narı iki olan bir küpün 8 köşesine yerleştir” diye devam etti. Sen 12 yüzlü bir şekil meydana getirirsin. Bu tip yapı böyle bir katının (yapının) hacmini hesaplamada ko­lay bir yol sağlar. Eğer merkezî küpün ke­narı, 2 ise, 12 yüzlü şekil 8 +- (24/3) ve­ya 16 hacmine sahip olur. Bunun da ötesin­de eğer 4 özdeş yangma yaparsan onlar bir­leşerek Mısır’ın büyük piramidini andıran tabanı 2 ye 2 kare olan ve kenarları 4 ahenkli ikizkenar üçgen olan bir piramit oluşur. Düzgün 12 yüzlü şeklin iskeleti ve 12 özdeş elmas gibi kesilmiş yüzü bu say­fanın altındaki şekilde gösterilmiştir. 4 yağma ilk yapılabilen açılmış piramit üst soldaki şekilde gösterilmiştir.

Cazip bir oyuncak; 6 tane bu çeşit piramidi sağ üstte görüldüğü gibi 6 kare tabanı çapraz bir şerit şeklinde tabanlarından yapıştırılarak yapılabilir. Şeridin tabanını kırmızıya ve piramitlerin yanlarını da maviye boya.. Piramitleri içeri doğru katlamak katı kırmızı bir küp oluşturur. Bunun aksine dışarıya doğru katlamak için de kübik iç boşluğu olan ve iki tane bu şekildeki modelle mavi bir 12 yüzlü, göstermesinin mümkün olduğu bir 12 yüzlü şekil meydana gelirdi. İç kırmızı küpü göstermek için kabuğunu çıkar ve aynı boyda başka bir kırmızı küp yapmak için kabu­ğu katla. Herbir küp böylece iki özdeş ma­vi 12 yüzlü şekle açılabilir.

“Bu kadar geometri yeter.” dedim, “Hiç İstanbul’a geldiğinden beri rakam gariplikleriyle karşılaştın mı?”Cevap yerine, Dr. Matrix bana 60 sayfalık “19 Sayısı: Kur’an’da Mucizevî Ra­kam” adında bir kitap uzattı. Daha sonra bu kitabın yazan, Reşad Halîfe’nin, bir süre öğretim görevlisi olarak çalıştığını, Ame­rikan Üniversitesinde biyokimya dalında doktora yapmış olduğunu öğrendim. Onun bu kitabı, 1972’de Amerika’da yayınlandı.

Kur’an-ı Kerimin 74. sure 27-31 ayet­leri 19 rakamından bahseder ve bu rakamın imansızlar için bir muamma olarak tasar­landığını ifade eder. Dr. Reşad Halife 19’ un Kur’an’da çok sık görüldüğünü ve bunun bir şifre olduğunu kitabında anlatmaya ça­lışmıştır.

Kur’an’daki sure sayısı 114’tür. 19’un katıdır. (Yani 19x6 = 114) Bismillahirrahmanirrahim. 19 harftir. Birinci keli­me “isim” Kur’an’da 19 defa görülür. İkinci kelime “Allah’ 2698 kere (yani 142x19} zik­redilmiştir, üçüncü kelime “Er’ Rahman” 57 defa (yani 3x19} tekrar edilmiştir. Dördüncü kelime “Er ‘Rahim” 114 defa (yani 6x19) tekrarlanmıştır. (*)

“- Bu, Kur’an-ı Kerim üzerinde hâri­ka bir çalışma” dedi, Dr. Matrix “Fakat eğer Reşad Halife bu risaleyi yazmadan önce bana danışsaydı bu çalışma daha en­teresan ve tesirli olacaktı. Mesela 9 ve 10’ un birinci kuvvetleri, 9 ve 10’un ikinci kuv­vetlerinin farkıdır. Emirp’in ne olduğunu bilir misin?

Başımı bilmiyorum manasına salla­dım. Bu sırada Iva, elinde bir tepsi içinde içeceklerle geldi. İstanbul’un kubbeleri, ku­leleri altunî kırmızıya kaçan renkteki gök­te, siyah siluetler oluşturana kadar mate­matik dışındaki mevzulardan hoşbeş ettik.

Ya, emirp geriden de asal sayıdır ve arkadaşım Jeremiah P. Farreli’in de, palendrome (geriden de aynen okunan keli­me, sayı) olmayan fakat basamakları ters çevrildiğinde ayn bir asal sayı olan sayı için kullandığı isimdir. Mesela, son emirpal yıl 1949’du ve bundan sonraki de 3011 olacak. Maalesef her iki tarih de aynı ba­samakları ihtiva ediyor ve iki basamağı aynı olmayan numerologist (sayıların esrarı ile ilgili) emirpler daha fazla enteresandır. Ben bu sayılara no-rep emirps derim ve onların ardışık sırası: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, ... Kimse bu no-rep emirplerin sonsuz olduğunu bilmez. Aslında kimse en büyük emirpi veya en büyük palendromik asal sayıyı bilmez.

“- İstanbul ile emirpler arasında hiç­bir bağ var mıdır?” diye sordum.“-Oraya geliyorum.” dedi. Dr. Matrix “Bildiğiniz gibi, İstanbul bir zamanlar Constantinapole isminde büyük bir şehir idi. Constantinapole’un tarihinde en mühim yıl şüphesiz ki, 1453, şehrin Türkler tara­rından fethedildiği yıl. Şimdi 1,453 sadece bir emirp değildir, ayrıca bir ne-rep-emirpdir. Onun basamaklarının, en küçük emirp olan 13’e eklendiğinde meydana gelen sa­yının neticesini inceleyin.

Bu sırada İva, elinde bir tepsi içinde içeceklerle geldi. İstanbul'un kubbeleri, kuleleri altunî kırmızıya kaçan renkteki gökte, siyah siluetler oluşturana kadar matematik dışındaki mevzulardan hoşbeş ettik. “- Günbatımı, dedi Iva, şehrin övgü­ye değer görüntüsü!” Açık bir pencereden müezzinin okuduğu ezan sesi süzüldü. Onun hoparlörlerden yaptığı davet, çok uzak ol­mayan minareden ibadete çağırıyordu. Dr. Matrix, karışık renkli hoş desenli sec­cadesini yere serdi ve güneydoğuya çevir­di. Ayakkabılarını çıkardıktan sonra Kur’ an’ın ilk Suresi olan Fatiha’yı yüksek sesle okudu, seccadeye diz çöktü. Iva şaşkın bir gülümsemeyle elindekini yudumlarken o, Kabe’ ye yönelmiş vaziyette teslimiyetini ifade ediyordu.

İstanbul’da birkaç unutulmaz, parlak gün geçirdim. Ayrılırken Dr. Matrix’in göz­lerinde yaşlan görebildiğimi tasavvur ettim. Kaderi hakkında bir ön sezgisi mi olmuştu? Bana söylediği son sözler “Güle güle, Ma­şallah hanim efendi, iyi şanslar.. Allah siz­den razı olsun.” oldu. -

“Selam” dedi Iva.

Üç hafta sonra New York Times de çıkan bir hikaye beni perişan etti. Hâdi­se Bükreş'teydi. Vazifeli olarak gittiği söy­lenen Dr. Matrix’in Bükreşte Ivan Skavinsky Skavar adında bir ajan ile görüştüğü anlaşıldı. İkisi, Danub deltasında terkedil­miş bir yere gittiler. Orada ne olduğu kati olarak açık değil. Görünüşte iki adam da aynı anda birbirlerine ateş edip ölmüş­ler. Uzun boylu adamın düşerken “Allahu Ekber” diye bağırdığını bir tepeden sey­reden bir görgü şahidi ifade ediyor. Iva, Danub’da babası için bir mezar hazırlattı.

Bir grup Rus tarafından alınan Skavar’ın cesedinin Karadeniz’in derin sularına bırakıldığı şâyialarının yayıldığını Times gazetesi belirtti. Bana en yabancı ve en tecrübeli bu tanıdık hakkındaki yazımı, istemeyerek böyle üzücü sözlerle noktalıyorum.

(*): Dr. Reşad Halife’nin kitabında böyle pekçok enteresan noktalar vardır: “Kur’anda iki surenin başında “kaf” har­fi vardır: I: Kaf Suresi II- Şûra Suresi. Kaf süresindeki kaf harflerini saydığımız zaman 19 sayısının üç katı olan 57 defa tekrarlan­dığını buluruz. Şûra Süresindeki kaf harf­lerinin de 5 7 defa tekrar edildiğini buluruz. Bu durum, Şûra Suresinin, Kaf Suresinden iki buçuk kat uzun olmasına rağmendir. Ayrıca dikkati çeken bir nokta var. Kaf Su­resinde 17. ayet “Ve Âdün ve Firavnü ve İHVANÜ Lût.” Bu âyet, üzerinde iyice dü­şünmeden, fazla inceleme yapmadan uğra­yıp geçtiğimiz bir âyettir. Ancak biraz araştırma yapınca, Kur’an-ı Kerim’de “Kav-mu Lut” ifadesini 12 defa okuyoruz. Sa­dece Kaf Suresinde “İhvanü Lut” şeklinde bir isimle karşılaşıyoruz. Eğer bu surede de “kavm” kelimesi zikredilmiş olsaydı bu surede kaf harflerinin sayısı 58 olurdu. Bu sefer de 19’un katlarından olmazdı. Şifre bozulmuş olurdu.

Sad harfini, üç surede (A‘raf, Mer­yem, Sad) saydığımız zaman yekûn 152 ya­ni 19x8 olduğunu görürüz. Halbuki Araf Suresinin 69. ayetinde geçen “Besta” ke­limesi Sad ile “Basta” şeklinde yazılıdır. Hz. Muhammed (s.): “Cibril bana vahiy kâtiplerine, bu kelimeyi. Sin harfiyle değil de, Sad harfiyle yazmalarını söyle, dedi” buyurmuştur. Hâlbuki Arab dilinde “Basta” şeklinde bir lügat yoktur. Onun için Kur’an'da bu kelimedeki Sad harfinin altına bir Sin harfi yazılarak aslına işaret edilmektedir. Eğer besta şeklinde sin har­fiyle yazılsaydı bu sefer 152 sad harfi, 151 olacak ve 19’luk şifre bozulacaktı.

Nun harfi, sadece Kalem Suresinin başında bulunmakladır. Bu Suredeki nun harflerini saydığımız zaman 133 tane ol­duğunu göreceğiz. (Yani 19x7). Er’Ra’d Suresinin başında “Elif Lam Mim Ra” harfleri var. Hepsini saydığımız­da, bu surede bu dört harfin toplam 1501 defa tekrarlandıkları ortaya çıkar ki, 19x79 demektir. Tâhâ Suresinde Ti ve He harflerinin ikisinin toplam tekrarı 342’dir. Yani 19x18 demektir.

Martin Gardner Scientific American'dan

Kaynak: Sızıntı dergisi

MATEMATİĞİN SINIFLANDIRILMASI

2 ye ayırabiliriz;
1-Uygulamalı Matematik
2- Pür Matematik

Matematiğin alt dallarını kesin bir biçimde ayırmak zordur. Belki de en kolay sınıflandırma, temelde içerik değil de daha çok motivasyon ve vurgu farkından kaynaklanan uygulamalı ve pür matematik şeklinde yapılan sınıflandırmadır. Pür matematik, matematiğin kendisi için yapılan matematiktir. Diğer bir deyişle "acaba bu ne işe yarayacak" kaygısı gütmeden yapılan matematik. Uygulamalı matematikse üretilen pür matematiği gerçek hayata uygulama zamanı geldiğinde yapılan matematiğin genel adıdır. 100'den fazla alt dalı olan matematiği, ki bu dalların sayısı her geçen vakit artmaktadır, içerik bakımından genel hatlarıyla sınıflandırdık. Burada sadece popüler olan birkaç ana dalı ele alabildik.

Matematiğin Temel Kuramları

Mantık Kuramı
İspat Kuramı
Model kuramı
Kategori kuramı
Küme kuramı
Özyineleme kuramı

Cebir

Grup kuramı
Halka kuramı
Cisim Kuramı
Lineer cebir
Galois Kuramı
Sayılar Kuramı
Cebirsel Geometri
Kombinatorik

Geometri

Öklid geometrisi
Hiperbolik Geometri
Eliptik Geometri
Metrik Geometri
Projektif Geometri
Çizge Kuramı
Diferansiyel Geometri
Fraktal Geometri

Uygulamalı Matematik

Olasılık Kuramı
İstatistik
Matematiksel fizik
Kısmi Dif. Denklemler
Oyun Kuramı
Sistem ve Kontrol Kuramı
Yaklaşım Kuramı
Matematiksel İktisat
Seçim Kuramı
AktüeryaFinansal
MatematikKriptografi

Topoloji

Genel Topoloji
Cebirsel Topoloji
Geometrik Topoloji
Düğüm Kuramı
Diferansiyel Topoloji
Nokta-küme Topolojisi

Analiz

Reel Analiz
Ölçüm Kuramı
Kompleks Analiz
Tensör ve Vektor Analizi
Diferansiyel ve İntegral Denklemler
Nümerik Analiz
Fonksiyonel Analiz

KÜLTÜR OLARAK MATEMATİK

Dünyada birçok insan matematikle olan dargın ilişkisinden şikayet eder. Birçoğumuz bunu bir eksiklik olarak ifade etmekten hiç çekinmez . Aksine, matematikteki eksikliğini neredeyse övünerek dile getirir. Matematiği gözümüzde öylesine büyütmüşüz ki, böyle bir `ihtişam` karşısında yetersiz kalmak bir özellik olarak algılanıyor. Otoriteye biat etmek sahnesi... Matematiği yalnızca bir araç olarak gören ve toplumsal devinimden bağımsız algılayan bir paradigmada, matematiğin ideolojik boyutunu da gündeme taşımış oluyoruz böylece.

Her bilgi dalı gibi matematik de bir kültür olarak yaşamını sürdürür. Son zamanlarda yapılan kazılarda 30000-40000 yıl öncesine varan bulgulara rastlanmaktadır. Çeşitli kemikler ve taşlar üzerindeki işaretlerden daha o zamanlar insanların yaşamlarını ölçüp biçtiğini, hesap kitap yaptığını öğreniyoruz.

Gereksinmelerin giderilmesi, yaşamın örgütlenmesi için üzerinde yaşanan topraklar ölçülmüş, bölümlen-miş, hayvanlar sayılmış, gruplara ayrılmıştır. Evreni anlamak yolunda uzay tasavvur edilmiş, evrende görülenler benzetilerek geometrik şekil ve cisimlere vardırılmıştır. Giderek sayı dizgeleri farklılaşmış, çeşitli tabanda sayı sistemleri ortaya çıkmıştır. Bir taraftan insanların merak duyguları, yaratıcı yetileri, diğer yandan ihtiyaçların itici gücü ile matematik yaşamın kaçınılmaz bir parçası olmuştur. Doğa bilimleri büyük bir hızla evrilirken matematiği tetiklemiş, matematik de fiziksel araştırmaların motor gücü olmuştur.

Bu sürece sayısız örnek katmak olasıdır. Ancak temel sorun, böylesine insana has bir özelliğin, birçok kişinin başına nasıl dert olup çıktığıdır. Descar-tes `tan başlayan çözümleyici bakış açısı, Newton ve Leibniz ile doğanın devinimini anlamlandırma gayretlerinde doruğa ulaşmıştı. Matematik o güne kadar fizikle bu denli iç içe olmamıştı. Sonlu küçük matematikle fiziksel olguların değişim süreçlerine el atılmış, doğal süreçlerin modellenmesi ile mekanik biliminin temelleri atılmıştı. Bunun anlamı şuydu: Doğa olayları artık tasarlanabilir ve benzetilebilirdi. Böylece, matematik belirli bir dizge çerçevesinde düzenlenmeye başladı. Gelişen sanayi ölçütlerine göre insan yetiştirebilecek okullar ortaya çıkmaya başladı. Bu okullar, günün koşullarına ve gereksinmelerine göre içerik kazandı. Geometri cebirselleşti. Matematiği daha rahat kullanmanın ve buna göre bir öğretim çatısını kurmanın yoğun uğraşı gündeme geldi. Matematiğin bu yeni sistematik yapısı yeni kuşaklara aktarıldı.

Kültürel bir olgu olan matematik bu süreçte doğa bilimlerinin evriminde o denli etkili oldu ki, `bilimlerin kralı/kraliçesi ` önermesiyle taçlandırıldı. Matematik bir `zeka ölçütü` olarak öne çıktı. Matematik bir otorite olarak örgütlenince, insan türünün çokluk, uzam , renk gibi doğal zihinsel yetileri şeyleşti. Yalın bir doğallık olan parmakla hesap yapmak gibi edimler aşağılandı. İnsanlar baş tacı edilen bu `matematik anlayışı` süzgecinden geçirilerek sınıflandırıldılar. Herkesin kendine özgü matematiksel nitelikleri , kabul gören ölçütlere karşı yenik düştü. Matematiğe yabancılaşıldı. Böylece, matematik kaygısı toplumsal bir nitelik kazandı.

Matematik , bir kültür olarak insani bir üründür, bir eserdir. Tarihsel devinimde bir evrim yaşamıştır ve yaşamaktadır. Hüküm süren kapitalist/tek-nolojist paradigma pozitivist ideoloji kapsamında matematiği tarihsiz kılar. Matematiğin evrenselliğine ilişkin inancı önemli ölçüde pekiştirir. Araçsal-laştırır. Böylece matematik üzerinden bir iktidar kurar. Matematik bir otorite olarak seçkinci bir çizgi izler. Matematik , modern bilimin anahtar girdisidir ve teknolojinin kaçınılmaz bir hammaddesidir. Buna göre, çokluk, uzam , renk, değişim, biçim gibi boyutlar insan zihninin doğal nitelikleriyken şeyleşir, metalaşır ve insana yabancılaşır... Bunun bir uzantısı olan matematik kaygısını incelemeyi sürdüreceğiz.

BENO KURYEL (Ege Ü . Müh. F. bkuryel@ttnet .net .tr)

NEDEN MATEMATİK

Dünyanın değişik yerlerinden gelen elli kadar matematikçi geçenlerde Antalya’da mütevazi bir otelin barında buluştular. Sabah saat dokuz. Antalya’da mükemmel bir bahar sabahı başlarken matematikçiler perdeleri kapattılar ve daha önceden boşaltılıp sınıf haline getirilen barda yerlerini aldılar. Yaşlı bir matematikçi eski ama hâlâ çözülmemiş bir problemi anlatmaya başladı. Perdenin aralığından Akdeniz’in parlak maviliğine inen Torosların silueti görünüyor. Dinleyiciler bu muhteşem görüntüye kaçamak bir bakış bile atmıyorlar. Tüm dikkatlerini bu eski problemi anlamaya vermişler. Onlar matematikçi. Neden bu mesleği seçmişler bilinmez.

Yirminci yüzyılın başlarında yaşamış matematikçilerden Caratheodory, neden onca iş varken seçe seçe matematiği seçtiğini şu sözlerle anlatmaya çalışır: “Hayatıma anlam verecek tek şeyin hiç bir kısıtlama olmaksızın kendimi matematik çalışmaya adamak olduğu yönündeki saplantımdan kendimi kurtaramadım.”

Maddi imkansızlıkları ciddiye dahi almadan, bir otelin barını sınıfa çevirme pahasına, hatta yol paralarını da kendileri vererek gelen bu matematikçileri buraya çeken ne? Dışarıdaki havuzda çığlık çığlığa eğlenen çocukların sesleri arasından tahtadaki yaşlı matematikçinin kısık sesiyle anlattığı problemi dinlemeye çalışan bu matematikçilerin ilgisini bu denli toplayan bu konu, matematik, nasıl bir şey?

Eflatun “Bir karenin köşegeninin, kenarlarla orantılanamayacağını bilmeyen kimse insan sıfatına lâyık değildir” der. Dakikalar ilerledi. Artık yaşlı matematikçi problemin tanımlanmasını ve tarihçesini bitirdi. Şimdi teknik ayrıntılara girecek. Buraya kadar olan kısım matematik eğitimi almış herkesin anlayabileceği düzeydeydi. Bundan sonra dinleyenler kendi konularının sayılar teorisine olan uzaklığıyla ters orantılı olarak sırayla konuşmadan kopacaklar. Sonlarda ise yalnızca o problemle ilgili bir kaç kişi kalacak konuşmayı aktif olarak takip eden. Peki diğerleri ne olacak? Tecrübeli hoca derse başlamadan önce sınıfa döner ve “Eğer sınıfta uyuyan olursa beni uyandırın” der… Onlar yıllardır bu çeşit konferanslarda yapmaya alıştıkları şeyi yapacaklar. Önce konuşma tamamen onların ilgi ve bilgi alanı dışına çıkıncaya kadar dinleyecekler. Sonra konuşmayı bırakıp kendi kafalarının içindeki dünyaya geçecekler ve o dakikaya kadar dinlediklerinin kendi uğraştıkları probleme nasıl uygulanacağını düşünmeye başlayacaklar. Yavaş yavaş akıllarına yeni fikirler gelecek. Önlerindeki kağıda bu fikirlerin ana hatlarını çiziktirecekler ilerde hatırlamak üzere. İlerde hatırlamak?

Günümüzden yaklaşık 4000 yıl öncesine tarihlenen ve Plimpton 322 diye bilinen Mezopotamya tabletleri üzerinde, kenarları tam sayı olan ve belli bir kurala göre sıralanmış dik üçgenlerin kenar uzunlukları verilmiştir. Tahtadaki yaşlı matematikçi konuşmasını yılların kazandırdığı rahatlıkla öyle bir ustalıkla anlatıyor ki kendi kafalarındaki matematik dünyasına gitmiş olanlar sık sık geri gelip konuşmaya katılma ihtiyacı duyuyorlar. Aynı konuyu genç bir matematikçi anlatsaydı çoktan herkes kendi dünyasına kaçmış olurdu. Zaten o genç konuşmacı da dinleyicilerden habersiz kendi probleminin labirentlerinde tek başına dolaşıyor olurdu.

Hocalık hayatının ilk dersinden alı al moru mor çıkan genç matematikçi yan sınıftan sakin ve memnun bir şekilde çıkan yaşlı matematikçiye sarılır ve “Öğrenciler bana matematik ne işe yarar diye sordular, çok zorlandım. Size sorduklarında siz ne yapıyorsunuz?” diye sorar. Yaşlı matematikçi hiç umursamadan cevaplar: “Bana sorduklarında ben söylüyorum.” Konuşma bitti. şimdi kahve molasındayız. Havuzun kenarındaki çardağın altındayız. Akdeniz’in göz kamaştıran güneşi, Torosların heybeti ve açıklarda sezonun ilk turistlerini gezdiren motorların patpatları arasında mükemmel bir Antalya günü mayalanıyor. Ama bizim matematikçilerin bundan etkilendikleri söylenemez. Kulak kabarttığınız zaman Türkçe, İngilizce ve Rusça konuşmaların çoğunun az önceki konuşmada konu edilen problemle ilgili olduğunu görüyorsunuz. Kimileri bazı tekniklerin neden bu problemi çözemediğini anlamaya çalışıyor. Kimileri bir masaya oturmuşlar, önlerindeki kağıda çizdikleri bir kaç sembole derin derin ve hareketsiz bakıyorlar. Zaman zaman biri bir söz söylüyor ve o sembollere bir tane daha katıyor. Öbürü onaylıyor. Sonra tekrar uzun uzun kağıda bakıyorlar. Bazıları oturmuş harıl harıl yakaladıklarını sandıkları bir teoremi kağıda geçiriyorlar ve aynı telaşla kahvelerini içiyorlar. Herkesin elinde bir kahve. Zaten matematikçiler kahveyi teoreme çeviren makineler değil midir? Peki matematikçileri bunca teoremi bulmaya iten dürtü nedir?

Dünyanın tepsi gibi düz olduğunun okullarda okutulduğu yıllarda Dünyanın eğik olması gerektiğini düşünen ve yerkürenin eğimini hesaplayan Knidoslu Eudoxus bir gün başını göğe kaldırıp arkadaşlarına “Şu güneşin yapısını, şeklini ve büyüklüğünü tam olarak kavrayabileceğimi bilsem yanına gidip yanmaya razı olurdum” der. Öğleden sonra yine bardayız. Bu kez orta yaşlı bir matematikçi bir bölümünü çözdüğü, kalan bölümünün de nasıl çözüleceğini keşfettiği bir problemi meslektaşlarıyla paylaşıyor. Dinleyiciler Kolomb’un gemisinden Yeni Dünyanın bilinmezliklerine bakan tayfaların heyecanıyla konuşmayı izliyorlar. Sabah konuşan yaşlı matematikçinin yıllar içinde kazandığı rahatlık henüz bu konuşmacıya ulaşmamış. Ne de olsa bu konuşmacı daha genç. Çok kısa sürede konuşmayı konunun teknik ayrıntılarına getiriyor. Artık konuşmayı yalnız o konuda kendileri de araştırma yapan matematikçiler izliyorlar. Öyle ki konuşma arasında bir soru sormak isteyen sanki diğerlerini rahatsız etmek istemezmiş gibi alçak sesle soruyor. Diğerleri kendi dünyalarında harıl harıl çalışıyorlar. Matematikçilerin böyle ayrı bir dünyaya çekilip kendi problemlerinin sırlarını çözmek için kullandıkları en uygun mekanlar bu çeşit konferanslar, fakat onlar diğer fırsatları da değerlendirirler. Örneğin hatır için katıldığı partide bir kenarda oturup somurtan matematikçi “Beni rahatsız etmeyin, meşgulum” demektedir. Zaten yolda karşıdan karşıya geçerken hayati tehlike atlatmayan ya da duşa girip de çıkmayı unutmayan matematikçiye camiada iyi gözle bakılmaz. Evinin bahçesindeki çimlerin üzerine sırt üstü yatmış, bulutlara bakan matematikçiye oğlu pencereden seslenir “Baba, çok çalıştın, artık içeri gel.” Konuşma ilerledikçe Antalya sıcağı bara dolmaya başlıyor. Havuza atlayanların çığlıkları ve mevsimin ilk sıcaklarını karşılayan kuşların şaşkın ve tereddütlü ötüşleri bardakilerin dikkatini dağıtmaya yetmiyor. Konuşmadan kopanlar zaten kendi problemlerine yoğunlaşmış çözüm arıyorlar. Konuşmayı takip edenler ise orta yaşlı matematikçinin çizdiği şekillerin simgelediği kavramları kendi matematik gözlerinde canlandırmak üzere konuşmacı ile birlikte başka bir boyuttalar. Zaten tahtaya çizilen şekiller iki boyutlu gerçel figürler, oysa anlatılan konu karmaşık sayılarla ilgili çok boyutlu bir uzayda olan bir olay.

Poincare geometri için “Yanlış şekillerle doğru düşünebilme sanatıdır” der.Barda bu dünya ile temas halinde kalan tek kişi oturum başkanı. Onun görevi de konuşmanın zamanında bitmesini sağlamak. Bar, içindekilerle birlikte bir kara deliğin içinden bambaşka bir evrene ışınlanmış. Zamanı gelince bu barı yine bu otelin birinci katındaki köşesine geri getirme görevi oturum başkanında. Sık sık saatine bakıyor. Tüm sorumluluk onda. Yirminci yüzyılın en yetkin matematikçilerinden Hilbert’e eğer bin yıl sonra dünyaya geri gelebilse ilk merak edip öğrenmek isteyeceği şeyin ne olacağı sorulduğunda “Riemann hipotezi çözüldü mü diye sorarım” demiştir. Konferansın son günü. Çok genç bir matematikçi üzerinde çalıştığı bir problemi anlatıyor. Bu son konuşma olmasına rağmen bar yine dolu. Genç matematikçinin konuyu çok kısa sürede teknik ayrıntılara boğacağı ve dinleyicilere kendi problemleriyle ilgilenmek için çok daha uzun bir süre vereceği tahmin edildiği için kimse bu fırsatı kaçırmak istememiş. Gerçekten genç matematikçi öyle bir coşku, heyecan ve süratle teknik labirentlere dalıyor ki onu ön sıralarda dinleyen hocası fenalık geçiriyor. Her genç matematikçinin konuşmasında olduğu gibi konuşma derhal içinden çıkılmaz hesaplara ve kendinden başka kimsenin anlamadığı ayrıntılara kayıyor. Oysa öylesine büyük bir coşku ve sevgiyle anlatıyor ki. Bu tutkunun, bu sevginin, bu ateşin bir tarifi var mı?

Matematiği Mısırlı matematikçilerden bile daha iyi bildiğini söylemekten çekinmeyen Democritus tüm bu kibirine rağmen “Her hangi bir şeyin nedenini kavrayabilmeyi tüm Pers krallığını fethetmeye tercih ederim” demiştir. Konuşmayı takip edebilenler artık konuyu bırakmışlar, genç matematikçinin makul bir açığını yakalayıp onu biraz hırpalamak istiyorlar. Bu çeşit iyi niyetli hırpalamalar matematik eğitiminin bir parçasıdır. Önde oturan hoca da böyle bir hırpalama başlarsa hangi safhada müdahele etmesi gerekeceğinin hesabını yapıyor. Ama tüm heyecanına, süratine ve tecrübesizliğine rağmen genç konuşmacı beklenen açığı vermiyor. Herkes memnun. Oturum başkanı saatine bakıyor ve barı tekrar yerkürenin Antalya civarındaki eski yerine ışınlıyor. Konuşmanın ve konferansın bittiğini ilan ediyor. On yedinci yüzyıl İngiliz şairlerinden Alexander Pope bir şiirinde şöyle der: Öğrenmenin azı tehlikeli bir iştir; Kana kana iç, ya da tadına bile bakma ilham pınarının. Orada sığ akıntılar başını döndürür, sarhoş eder Ve ancak bol bol içince ayıltır yeniden. Amerika Birleşik Devletlerinde üniversite ya da araştırma enstitülerinde çalışan matematikçilerin üye olduğu Amerikan Matematik Derneğinin üye sayısı yaklaşık 30,000’dir. Uygulamaya yönelik ve endüstride çalışan matematikçiler de Uygulamalı ve Endüstriyel Matematik Derneği’ne üye olurlar ve o derneğin de yaklaşık 10,000 üyesi vardır. Demek ki Amerika yaklaşık 235 milyon nüfusu içinde 40,000 kayıtlı matematikçi barındırmaktadır. Kaba bir hesapla Türkiye’de de bu oranlar geçerli olsa 10,000 civarında kayıtlı matematikçimizin olmasını bekleriz. Oysa bizde bu sayı 500 civarındadır. Napolyon “Bir ülkedeki matematik biliminin gücü ile devletin gücü birbirine paraleldir” der. Matematikçiler artık ertesi yıl yine toplanılması dilekleriyle otelden ayrılmaya başladılar. Toplantıyı ertesi yıl düzenleme görevini verdikleri matematikçiye toplantının daha iyi olması için ne yapması gerektiği konusunda fikirler veriyorlar. Verilen fikirler hep konuların seçimi, konuşmaların içerikleri ve tartışma zamanlarının ayarlanmasıyla ilgili. Kimse konferans boyunca bir türlü çalışmayan havalandırma sisteminden, çıkan yemeklerin kalitesizliğinden, en acil durumlarda göçen resepsiyon bilgisayarlarından ya da barın ders için pek de ideal bir mekan olmadığından şikayet etmiyor. Nasıl olsa seneye konuşmalar başladığında herkes o konuşmadan alacağı kadarını alıp kendi problemlerinin dünyasına çekilecek. Bu dünya ile ilgili hiç bir talepleri o yüzden olmuyor. Ama bunun bir istisnası var. Kahveler zamanında ve kıvamında hazır olmalı. Eğer kahve servisi biraz aksasaydı yıkarlardı oteli…

TUBITAK Bilim ve Teknik Dergisi, sayı 392, Temmuz 2000, 66-68.